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『数学の想像力――正しさの深層に何があるのか』(加藤文元 筑摩選書 2013)

著者:加藤 文元[かとう・はるふみ] (1968-) 数学、数理解析。 

【目次】
目次 [003-006]


第1章 背理法の音楽 009
音楽と数学/「流れ」/「流れ」の自己相似性/論理的推論/三段論法――最小の入れ子構造/論理と流れ/音楽的な数学/背理法背理法による証明の例/仮定の〈後出し〉/虚構の推論/間接証明/背理法の音楽/人間と数学


第2章 見よ! 041
ソクラテスと僕童/無邪気な信念/「見る」ということ/普遍的〈正しさ〉と証明/証明の決済としての「見る」/「無邪気な信念」の是非/「代数語を話す」という前提/正しさの認識における三要素


第3章 数を観る 066
円周率/素朴な計算法/その歴史/日本人の寄与/建部賢弘の計算/数を「観る」/「注目すべき事実」/証明のない〈正しさ〉


第4章 儀式としての証明 087
「証明する」ということ/『ユークリッド原論』/議論の形式化/「見る」の排除/厳密性の基準/明証性のコペルニクス的転回/ピタゴラス神秘主義ピタゴラスピタゴラス学派/オルフェウス教の影響/見ることへの忌諱/ギリシャ的明証性の根底にあるもの


第5章 見えない正しさ 119
線分と数/形相か質料か/数と量/弦の長さの比/対角線の長さ/無理数ピタゴラスの定理/通約不可能性/背理法による証明/見えない数への恐怖/計算と論証/複合的要因


第6章 無限に対する恐怖 152
数学の時代性・地域性/「1」は〈数〉か?/エレアのパルメニデス/「真理の道」と「臆見の道」/背理法の起源/様式化された正しさ/「運動」の否定/矢の逆理/競技場の逆理/二つの逆理が示すこと/〈無限〉に対する恐怖


第7章 無限の回避 188
円の面積/アルキメデス『円の計測』/アルキメデスの公理/正多角形による近似/アルキメデスによる証明/証明の構造/取り尽くし法/「アキレスと亀」の逆理/計算と論理


第8章 伝統のブレンド 215
代数学への道/古代文明の数学/古代中国数学/古代インド数学/「0」の発見/中世の中国とインド/アラビア数学/数学の算術化


第9章 無限小算術 250
十二世紀ルネサンス幾何学代数学/近代西洋数学の成立/微分積分学の勃興/無限小算術の「基盤」/ゼノンの再来/論理的不整合


第10章 西洋科学的精神 275
西洋数学の十九世紀革命/極限概念/問題の回避/数学の解放/自然科学と数学/対象を〈作る〉/理性と信仰/「奇跡は起こっているのだ!」


エピローグ(平成二十五年四月 熊本にて 加藤文元) [301-304]
参考文献 [305-307]